Наилучшее приближение

Наилучшее приближение, важное понятие теории приближения функций. Пусть f (x) — произвольная непрерывная функция, заданная на некотором отрезке [а, b], a j₁(x), j₂(x),..., j_n (x) — фиксированная система непрерывных функций на том же отрезке. Тогда максимум выражения:

  |f (x) — a₁j₁(x) - a₂j₂(x) -... - a_nj_n (x)|     (*)

на отрезке [а, b] называется уклонением функции f (x) от полинома

  P_n (x) = a₁j₁(x) + a₂j₂(x) +... + a_nj_n (x),

а минимум уклонения для всевозможных полиномов P_n (x) (т. е. при всевозможных наборах коэффициентов a₁, a₂,..., a_n) — наилучшим приближением функции f (x) посредством системы j₁(x), j₂(x),..., j_n (x); Н. п. обозначают через E_n (f, j). Таким образом, Н. п. является минимумом максимума или, как говорят, минимаксом.

Полином P*_n (x, f), для которого уклонение от функции f (x) равно Н. п. (такой полином всегда существует), называется полиномом, наименее уклоняющимся от функции f (x) (на отрезке [а, b]).

  Понятия Н. п. и полинома, наименее уклоняющегося от функции f (x), были впервые введены П. Л. Чебышевым (1854) в связи с исследованиями по теории механизмов. Можно также рассматривать Н. п., когда под уклонением функции f (x) от полинома P_n (x) понимается не максимум выражения (*), а, например,

См. Приближение и интерполирование функций.