Чаплыгина неравенство

Чаплыгина неравенство, одно из важнейших дифференциальных неравенств. Если y’'(x) = f (x, y) и функции u (х) и v (x) удовлетворяют дифференциальным неравенствам u’'(х)—f (x, u) > 0 и v’'(x) — f (x, v) < 0 (x₀ £ x £ x₁) и u (х₀) = v (x₀) = y₀, то решение y (x) дифференциального уравнения у’'(х) = f (x, y), проходящее через точку (x₀, y₀), заключено между функциями u (х) и v (x), то есть u (х) > у (х) > v (x), (x₀ < х £ x₁). Эта теорема (здесь изложен простейший случай) была доказана С. А. Чаплыгиным (1919) и положена им в основу метода приближённого интегрирования дифференциальных уравнений (см. Чаплыгина метод). Чаплыгин доказал аналогичную теорему для уравнения у ⁽ⁿ⁾—f (x, у, y',..., y ^(n¾1)) = 0 и распространил её на уравнения с частными производными.