Равносильные уравнения

Равносильные уравнения, уравнения, имеющие одно и то же множество корней (в случае кратных корней нужно, чтобы кратности соответствующих корней совпадали). Так, из трёх уравнений:  = 2, 3х — 7 = 5, (х — 4)² = 0, первое и второе — Р. у., а первое и третье не Р. у. (т.к. кратность корня х = 4 для первого уравнения равна 1, а для третьего равна 2). Если к обеим частям уравнения прибавить один и тот же многочлен от х или умножить обе части на одно и то же число, не равное 0, то получим уравнение, равносильное данному. Например, x² — x + 1 = x — 1 и x² — 2x + 2 = 0 — Р. у. (к обеим частям первого прибавлен многочлен: — х + 1); 0,01х² — 0,37х + 1 = 0 и x² — 37x + 100 = 0 — также Р. у. (обе части первого умножены на 100). Но если умножить или разделить обе части уравнения на многочлен степени не ниже 1, то полученное уравнение, вообще говоря, не будет равносильным данному. Например, х — 1 = 0 и (х — 1)(х + 1) = 0 — не Р. у. (корень х = — 1 второго не является корнем первого). Понятие «Р. у.» приобретает точный смысл, когда указано поле, в котором лежат корни уравнений. Например, x² — 1 = 0 и x⁴ — 1 = 0 — Р. у. в поле действительных чисел (множество корней как для одного, так и для другого состоит из 2 чисел: x₁ = 1, x₂ = —1). Но они не Р. у. в поле комплексных чисел, т.к. второе имеет ещё 2 мнимых корня: x₃ = i, x₂ = — i. Понятие Р. у. можно применять и к системе уравнений. Например, если Р (х, у) и Q (x, у) — два многочлена от переменных х и у и а, b, с и d — числа (действительные или комплексные), то две системы: Р (х, у) = 0, Q (x, у) = 0 и aP (x, у) + bQ (x, y) = 0, cP (x, y) + dQ (x, y) = 0 равносильны тогда, когда определитель ad — bc ¹ 0.

  А. И. Маркушевич.