Пластинки

Пластинки, тела, имеющие форму прямой призмы или прямого цилиндра, высота которого (толщина) мала по сравнению с размерами основания. По очертанию основания П. делятся на прямоугольные, круглые, эллиптические и т.д. Плоскость, делящая пополам толщину П., называется срединной плоскостью.

  П. широко применяются в технике как элементы многих конструкций и сооружений, в стенах и перекрытиях, в фундаментах, мостах, гидротехнических сооружениях и т.д., являются одним из элементов корпуса корабля, самолёта, резервуара, а также многих машин и приборов. П. используются в акустике в качестве элементов излучателей и приёмников звука, преград в звуковом поле и др.

  В зависимости от характера действующих на П. нагрузок различают П., работающие на изгиб от поперечной нагрузки и на растяжение — сжатие от нагрузки, действующей в срединной плоскости.

  При деформации изгиба точки П. получают перемещения (прогибы), перпендикулярные к срединной плоскости, поверхность, которую образуют точки срединной плоскости после деформации, называется срединной поверхностью. В зависимости от характера деформации срединой поверхности при изгибе П. делят на жёсткие, или малого прогиба (не более ¹/₅ толщины), гибкие (прогиб от ¹/₅ до 5 толщин) и абсолютно гибкие, или мембраны (при прогибе свыше 5 толщин).

  В жёсткой П. без заметной погрешности можно считать её срединный слой нейтральным, т. е. свободным от напряжений растяжения — сжатия. При расчёте жёстких П. пользуются, как правило, гипотезой прямых нормалей, согласно которой любая прямая, нормальная к срединной плоскости до деформации, остаётся и после деформации прямой, нормальной к срединной поверхности, а длина волокна вдоль толщины П. считается неизменной.

  В гибкой П. (при расчёте в пределах упругости) наряду с чисто изгибными напряжениями необходимо учитывать напряжения, равномерно распределённые по толщине пластинки. Последние называются цепными, или мембранными, напряжениями или напряжениями в срединной поверхности. В абсолютно гибкой П., или мембране, при исследовании упругих деформаций можно пренебречь собственно изгибными напряжениями по сравнению с напряжениями в срединной поверхности.

  При работе П. под нагрузкой, действующей в срединной плоскости, напряжения распределяются равномерно по толщине, т. е. П. работает в условиях более выгодных, чем в случае поперечной нагрузки. Однако при этом возможна потеря устойчивости П. (см. Устойчивость упругих систем), и её обычно приходится подкреплять сетью рёбер жёсткости.

  Важное значение имеет расчёт свободных и вынужденных колебаний П. (т. н. динамические задачи).

  А. С. Вольмир.

  Как колебательные системы П. представляют интерес прежде всего в акустике. Различают тонкие П. и толстые по сравнению с длиной упругих волн в них. В тонких П. возможны поперечные колебания (изгиба) и продольные колебания (растяжения), когда смещения ориентированы в плоскости П. Изгиб в тонких П. не сопровождается растяжением её срединной плоскости, поэтому колебания изгиба и растяжения могут существовать независимо друг от друга. В толстых П. это не имеет места. Колебания таких П. можно представить как совокупность продольных и сдвиговых волн, распространяющихся в толще П. и отражающихся на обеих её сторонах.

  В соответствии с двумя типами колебаний в неограниченной (гипотетической) П. могут распространяться поперечные и продольные волны. Для поперечных (изгибных) волн П. является системой, обладающей дисперсией: волны различной длины распространяются в ней с различными скоростями. Скорость продольных волн в тонкой П. не зависит от длины волны. П. ограниченного размера обладает дискретным рядом собственных частот. Каждой собственной частоте соответствует своя собственная форма колебаний, наглядно изображаемая расположением узловых линий, где смещения в процессе колебаний равны нулю. Собственные частоты и формы колебаний зависят от размеров и формы П., а также от условий закрепления её краев. Колеблющаяся П. сама является источником колебаний в той среде, в которой она находится. Эффективность излучения П. зависит от упругих свойств и плотности материала П., а также от свойств среды, в которой она находится.

 

  Лит.: Бубнов И. Г., Труды по теории пластин, М., 1953; Тимошенко С. П., Пластинки и оболочки, пер, с англ., М.— Л., 1948; Вольмир А. С., Гибкие пластинки и оболочки, М., 1956; его же, Нелинейная динамика пластинок и оболочек, М., 1972; Стретт Дж. (Рэлей), Теория звука, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1955; Скучик Е., Основы акустики, пер. с нем., т. 2, М., 1959.