Несмещённая оценка

Несмещённая оценка, оценка параметра распределения вероятностей по наблюдённым значениям, лишённая систематической ошибки. Более точно: если оцениваемое распределение зависит от параметров q₁, q₂,..., q_s, то функция qi* (x₁, x₂,..., x_n) от результатов наблюдения x₁, x₂,..., x_n называемых Н. о. для параметра q_i, если при любых допустимых значениях параметров q₁, q₂,..., q_s математическое ожидание Е q_i* (x₁, x₂,..., x_n) = q_i,. Например, если. x₁, x₂,..., x_n суть результаты n независимых наблюдений случайной величины, имеющей нормальное распределение

с неизвестными а (математическое ожидание) и s² (дисперсия), то среднее арифметическое

будет Н. о. для а. Часто используемая для оценки эмпирической дисперсии

не является несмещенной оценкой. Н. о. для s² служит

величина Н. о. квадратичного отклонения s имеет более сложное выражение

  Оценка (1) для математического ожидания и оценка (2) для дисперсии являются Н. о. и при распределениях, отличных от нормального; оценка (3) для квадратичного отклонения, вообще говоря (при распределениях, отличных от нормального), может быть смещенной.

  Использование Н. о. необходимо при оценке неизвестного параметра по большому числу серий наблюдений, каждая из которых состоит из небольшого числа наблюдений. Пусть, например, имеется k серий

  x_i1, x_i2,×××, x_in (i = 1, 2, ×××, k)

по n наблюдений в каждой и пусть s_i — несмещенная оценка s² для s², составленная по i-й серии наблюдений. Тогда при большом k в силу закона больших чисел

даже когда n невелико. Н. о. играют важную роль в статистическом контроле массовой продукции.

 

  Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Колмогоров А. Н., Несмещенные оценки, «Изв. А. Н. СССР. Серия математическая», 1950, № 4: Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К.. Соловьев А. Д., Математические методы в теории надежности, М., 1965.

  Ю. В. Прохоров.