Математический интуиционизм

Математический интуиционизм, философско-математическое течение, отвергающее теоретико-множественную трактовку математики и считающее интуицию единственным источником математики и главным критерием строгости её построений. Восходящая к античной математике интуиционистская традиция в той или иной степени разделялась такими учёными, как К. Ф. Гаусс, Л. Кронекер, А. Пуанкаре, А. Лебег, Э. Борель, Г. Вейль. С развёрнутой критикой классической математики и радикальной программой интуиционистского переустройства математики выступил в начале 20 века Л. Э. Я. Брауэр. Формирование этой программы, которую ныне и принято называть «интуиционизмом» (сам Брауэр использовал термин «неоинтуиционизм»), проходило в острой полемике с математическим формализмом на фоне вызванного антиномиями теории множеств кризиса оснований математики. Брауэр решительным образом отвергал как веру в актуальный характер бесконечных множеств (см. Бесконечность в математике), так и правомерность экстраполяции в область бесконечного выработанных для конечных совокупностей законов традиционной логики. Согласно интуиционистским воззрениям, предметом исследования математики являются умственные построения, рассматриваемые как таковые «безотносительно к таким вопросам о природе конструируемых объектов, как вопрос, существуют ли эти объекты независимо от нашего знания о них» (А. Гейтинг, Нидерланды). Математические утверждения — суть некоторая информация о выполненных построениях. Обращение с умственными построениями требует особой логики — так называемой интуиционистской логики, не принимающей, в частности, в сколько-нибудь полном объёме исключённого третьего принципа.

  В серии статей начиная с 1918 Брауэр и его последователи осуществили построение основных разделов интуиционистской математики — теории множеств, математического анализа, топологии, геометрии и так далее. В настоящее время (70-е годы 20 века) интуиционистская математика является достаточно глубоко разработанным направлением. Требования интуиционистской программы обоснования математики приводят к тому, что некоторые разделы традиционной математики приобретают весьма необычный вид. Это связано с отказом рассматривать актуально заданные бесконечные множества как объект исследования и с требованием эффективности всех осуществляемых построений. Весьма своеобразным является основное орудие М. и. — концепция свободно становящейся последовательности (в другой терминологии — последовательности выбора) и связанная с ней новая трактовка числового континуума как «среды становления» последовательности измельчающихся рациональных интервалов (в противовес традиционной точке зрения, конструирующей континуум из отдельных точек). В своей простейшей форме свободно становящаяся последовательность (ссп) есть функция, перерабатывающая натуральные числа в натуральные и такая, что любое её значение может быть эффективно вычислено. Точное исследование показывает, что следует различать несколько видов ссп в зависимости от степени информации, известной исследователю о ссп. Считая критерием верности построений прежде всего интуицию, и в противовес формализму, Брауэр возражал против попыток формализации интуиционистской математики и, в частности, интуиционистской логики. Но «интуиция» интуиционизма, независимо от философских установок и взглядов на неё Брауэра и Вейля, — это, в основной своей части, наглядная умственная убедительность простейших конструктивных процессов (см. Конструктивная математика), складывающаяся у людей в процессе их социального развития, обучения и воспитания и как таковая вполне допускающая исследование точными методами. Значительные успехи были достигнуты в изучении интуиционистской логики именно после того, как основные ее законы были точно сформулированы в виде исчислений, к которым можно было применять точные методы математической логики. Можно упомянуть, например, известную интерпретацию интуиционистского исчисления предикатов, предложенную А. Н. Колмогоровым, погружение классической формальной арифметики в интуиционистскую (К. Гедель), доказательство независимости логических связок и невозможность представления интуиционистского исчисления предикатов в виде конечнозначной логики (К. Гедель), теорию моделей для интуиционистской логики и многие другие факты, выясняющие значение и особенности интуиционистское логики по сравнению с классической, которые принципиально не могли бы быть получены без предварительной точной формулировки. Точная формулировка законов интуиционистской логики и интуиционистской арифметики была предложена уже в 30-е годы 20 века Гейтингом. Удовлетворительное построение теории ссп и более высоких разделов интуиционистской математики было завершено лишь к 70-м годам (С. Клини и другие). М. и. находится в стадии дальнейшей интенсивной разработки. Внимание М. и. к эффективности получаемых результатов находится в прекрасном согласии с вычислительной тенденцией в современной математике и привлекает к интуиционистской логике большое число плодотворно работающих математиков. В СССР группа математиков-логиков во главе с А. А. Марковым занимается разработкой конструктивной математики — близкого к М. и. направления (см. Конструктивное направление в математике).

  Лит.: Вейль Г., О философии математики. Сборник работ, перевод с немецкого, М. — Л., 1934; Гейтинг А., Интуиционизм, перевод с английского, М., 1965; Френкель А. А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, перевод с английского, М., 1966.

  А. Г. Драгалин Б. А. Кушнер.