Кубическое уравнение

Кубическое уравнение, алгебраическое уравнение третьей степени. Общий вид К. у.:

ax³ + bx² + cx + d = 0,

где а ¹ 0. Заменяя в этом уравнении х новым неизвестным у, связанным с х равенством х = у— b/3a, К. у. можно привести к более простому (каноническому) виду:

y³ + py + q = 0,

  где

p =-b²/3a² + c/a,

q =2b/27a³ - bc/3a² + d/a,

решение же этого уравнения можно получить с помощью Кардано формулы:

.

  Если коэффициенты К. у. — действительные числа, то вопрос о характере его корней зависит от знака выражения q²/4+p³/27, стоящего под квадратным корнем в формуле Кардано. Если q²/4 + p³/27>0, то К. у. имеет три различных корня: один из них действительный, два других — сопряжённые комплексные; если q²/4+p³/27 =0, то все три корня действительны, два из них равны; если q²/4+p³/27 <0, то все три корня действительны и различны. Выражение q²/4+p³/27 только постоянным множителем отличается от дискриминанта К. у. D = —4p³— 27q².

 

  Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова (и др.), кн. 2, М.— Л., 1951.