Индексы (в теории чисел)

Индексы в теории чисел, числа, играющие при решении сравнений роль, аналогичную роли логарифмов при решении показательных уравнений. Если р — нечётное простое число, g — первообразный корень по модулю р, то И. числа а называется такое число k = ind a, что а º g^k (mod p). Свойства И.:

ind ab = ind a + ind b (mod p — 1),

ind (a/b) = ind a — ind b (mod p — 1),

где a/b следует понимать как корень сравнения bx º a (mod р). При решении двухчленных сравнений axⁿ º b (mod p) И. используют для перехода к линейным сравнениям ind a + n ind x º ind b (mod p — 1). Ввиду практической пользы И. для каждого простого модуля p (не слишком большого) имеются специальные таблицы. В 1839 немецкий математик К. Якоби составил таблицу И. для всех простых чисел до 1000. Советскому математику И. М. Виноградову принадлежат важные исследования о распределении И.

  Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972.