Изопериметрические задачи

Изопериметрические задачи (от изо... и периметр), класс задач вариационного исчисления. Простейшие И. з. (нахождение треугольников и многоугольников заданного периметра, имеющих наибольшую площадь; нахождение замкнутой кривой заданной длины, ограничивающей максимальную площадь; определение замкнутой поверхности заданной площади, ограничивающей наибольший объём, и т. п.) были известны древнегреческим учёным (Архимед, Зенодор и др.). Общее изучение И. з. началось в 1697, когда Я. Бернулли опубликовал поставленную и частично решенную им И. з.: среди всех кривых данной длины найти кривую, для которой некоторая величина, зависящая от кривой, достигает минимума или максимума. Систематическое исследование И. з. было впервые проведено в 1732 Л. Эйлером. Пример И. з.: среди кривых данной длины l, проходящих через точки А и B, найти кривую, для которой площадь криволинейной трапеции (заштрихована на рис.) была бы наибольшей. Площадь криволинейной трапеции равна

                    (1)

длина дуги

                 (2)

Следовательно, задача сводится к нахождению наибольшего значения интеграла (1) при наличии условий (2). Оказывается, что искомая кривая — дуга окружности.

  Лит.: Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М. — Л., 1950.

Рис. к статье Изопериметрические задачи.