Доказательство от противного

Доказательство от противного (лат. reductio ad absurdum), вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения — антитезиса. Опровержение антитезиса при этом достигается установлением факта его несовместимости с каким-либо заведомо истинным суждением. Этой форме Д. от п. соответствует следующая схема доказательства: если В истинно и из А следует ложность В, то А — ложно. Другая, более общая форма Д. от п. — это доказательство путём опровержения (обоснования ложности) антитезиса по правилу: допустив А, мы вывели противоречие, следовательно — не-А. Здесь А может быть как утвердительным, так и отрицательным суждением, а вывод противоречия может пониматься либо как вывод утверждения о тождестве заведомо различных предметов, либо как вывод пары суждений В, не-В, либо как вывод конъюнкции этой пары, либо как вывод эквивалентности этой пары. Этим различным случаям соответствуют различные интерпретации понятий Д. от п. и «противоречие». Приём Д. от п. особенно важен в математике: многие отрицательные суждения математики не могут быть доказаны другим путём, кроме приведения к противоречию. Помимо указанных выше, существует иная — «парадоксальная» — форма Д. от п., применявшаяся уже в «Началах» Евклида: суждение А можно считать доказанным, если удастся показать, что А следует даже из допущения ложности А.

  М. М. Новосёлов.