Сферические функции

Сферические функции (Kugelfunctionen). — Выражение:

в котором α меньше единицы, a μ = Cos θ есть косинус некоторого угла θ, может быть разложено в следующий ряд, расположенный по возрастающим степеням а:

1 + аР ₁ + а ² Р ₂ + а ³P₃ +... + aⁿP_n +...,

в котором Ρ с разными индексами суть следующие функции от μ:

P₁ = μ, P₂ = (1/2)(3 μ ² — 1)

P₃ = (1/2)(5 μ ³ — 3 μ)...

и вообще Р _n может быть представлено так:

Р _n = (1/2ⁿn!)(dⁿ/d μ ⁿ)(μ ² — 1)ⁿ, где п ! = 1.2.3...n.

Функции эти, введенные Лапласом при рассмотрении вопросов о притяжении, носят название С. функций. Полную теорию этих функций можно найти в книге Heine "Handbuch d. Kugelfunctionen", a в книгах Thomson and Тait ("Treatise on natural philosophy"), Lamb ("Hydrodynamics", 1895) и Cl. Maxwell, "Trait é d'électricité et de magnétisme" (trad. p. Lui Sé ligmann) объяснено значение этих функций в теории потенциала, притяжения, электричества, магнетизма и в гидродинамике; там же полная и рациональная теория С. функций.

Д. Б.