Кватернион — Исчисление К., основанное Вильямом-Ровэном Гамильтоном (см.), представляет собою теорию векторов (см.), основанную на выражении вектора тричленом вида xi + yj + zk, в котором x, y, z суть величины проекций вектора на ортогональные оси координат, а i, j, k — символы, обозначающие мнимые величины особого рода, обладающие следующими свойствами:
A) Квадраты их равны минус единице, т. е. i2= -1, j2= -1, k2= -1.
B) Произведение двух из них равно третьей, взятой со знаком + или -, в зависимости от порядка множителей, а именно:
ij
= k, ji = -kjk
= i, kj = -iki
= j, ik = -j.Алгебраические действия сложения и вычитания над такими выражениями векторов дают выражения геометрической суммы и геометрической разности (см.) векторов, а через умножение вектора α = xi + yj + zk на другой вектор α 1 = х 1i + y1j + z1k получается на основании свойств А и B следующее выражение:
s + fi + gj + hk
..... (С)в котором:
s
= - (хх 1 + yy1 + zz1)f = уz
1 — zу 1g = zx
1 — xz1h = xy
1 - yx1Означим через r и r, длины обоих векторов, через Θ угол между их направлениями; представим себе, что оба вектора проведены из начала координат и что из него восстановлен перпендикуляр в такую сторону, чтобы наблюдателю, стоящему в начале координат, головою по направлению перпендикуляра, вращение направления r на угол Θ до совмещения с направлением r1 казалось бы совершающимся справа налево. Означим через l, m, n косинусы углов, составляемых направлением вышесказанного перпендикуляра с осями координат.
Известно, что хх 1 + yy1 + zz1 = rr1cos Θ и что
f
= -lrr1sin Θg
= - тrr 1sin Θh
= -nrr1sin Θпоэтому
αα
1 = -rr1cos Θ — λ rr1sin Θ, гдеλ = li+ mj + nk.
Следовательно, произведение αα 1 есть четырехчленное выражение, первый член которого есть отрицательно взятое геометрическое произведение (rr1cos Θ) обоих векторов, а сумма остальных трех членов есть выражение вектора, изображающего линейный момент вокруг начала координат вектора r1, отложенного от конца вектора r. Четырехчленное выражение вида (С) назвал Гамильтон К.; первый, невекториальный член s кватерниона наз. scalar, сумма остальных трех членов наз. вектором. В учении о Кватернион рассматриваются различные действия над Кватернион и делается применение теории их к геометрии, механике и математической физике. Ср. W. R. Hamilton, "Elemente der Quaternionen" (нем. излож. Paul Glаn, Лпц., 1882); Tait, "An Elementary Treatise on Quaternions"; P. Kelland and P. G. Tait, "Introduction to Quaternions".
Д. Б.
Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб. Брокгауз-Ефрон.
КвачевскийКвачевский Александр Андреевич — юрист, в 1852 г. окончил курс в СПб. университете, участвовал в разработке Судебных Уставов 1864 г.; по введении судебной реформы был прокурором Кашинского о...
Квебек, городКвебек, город (Quebec) — третий по населению город во всей Канаде, столица провинции того же имени, при впадении р. Чарльз в р. Св. Лаврентия. Средняя зимняя температура -12° Ц., летняя 20° ...
Квебек, провинцияКвебек, провинция (Quebec) — одна из провинций в Брит. Канаде; граничит на С. Лабрадором и Гудзоновым зал., на В. — Лабрадором и заливом Св. Лаврентия, на Ю. — бухтой Шалер, Нов. Брауншвейго...