Эллипс

Эллипс — Предположим, что на плоскости даны две точки F и F₁. Геометрическое место точки М, для которой сумма расстояний MF и MF₁ — величина постоянная, есть кривая линия, называемая Э. Точки F и F₁ суть фокусы. Если в точке F ила F₁ поместить источник света, то лучи после отражения от дуги Эллипс соберутся в F₁ или F. Отсюда и происходит название фокус (очаг, foyer, Brennpunkt). Точка О, делящая прямолинейный отрезок FF₁ пополам, есть центр кривой. Это значит, что в точке О делится пополам всякая хорда, проходящая через эту точку. Введем обозначения: MF + MF₁ = 2а, FF₁ = 2с, b = √ (а ² —с ²). Если начало координат возьмем в точке O, ось x -ов направим по линии FF₁, ось у-ов по перпендикуляру к FF₁, то уравнение Эллипс будет

x²/a² + y²/b² = 1.

Вид этой кривой изображен дстаточно описан. Отложим по оси х-ов расстояние OD, равное а ²/c, в ту сторону, где находится точка F, и проведем прямую DE перпендикулярно к оси x -ов. Эта прямая называется директриссой. Расстояние M до этой прямой обозначим через MP. Для всякой точки M Эллипс отношение MF/MP есть величина постоянная, называемая эксцентриситетом и обозначаемая буквой е. В нашем случае е = с/а. Это показывает, что для Эллипс е < 1. По другую сторону центра лежит фокус F₁ и соответствующая ему директрисcа D₁E₁. Точки пересечения Эллипс с осью х-ов (на ней находятся фокусы) обозначим через А и a₁, а с осью у-ов через В и В ₁. В таком случае

АА ₁ = 2а, ВВ ₁ = 2b.

АА ₁ назыв. большой осью Э., а ВВ ₁ — малой осью. Точки A, А ₁, B, B₁ назыв. вершинами Э. Мы предполагаем, что А и В находятся на положительных частях осей координат, а А ₁ и B₁ — на отрицательных. Если начало координат перенесем в А ₁ и сохраним прежнее направление осей координат, то уравнения Эллипс будет

у ² = 2px + qx²,

где p = b²/a², q = — b²/a². Число 2р называется параметром.

Уравнение

r = p/(1 + eCos φ)

выражает Эллипс относительно полярной системы координат, причем полюс находится в фокусе, а полярная ось проходит через вершину Э. При пересечении конуса плоскостью, удовлетворяющей некоторым условиям, получется Э. См. Конические сечения (см.).