Целая функция

Целая функция, функция, аналитическая во всей плоскости комплексного переменного (см. Аналитические функции). Примерами Ц. ф. могут служить алгебраический многочлен a₀ + a₁z +... + a_nzⁿ, функции sinz, cosz, e^z. Бесконечно удалённая точка является, вообще говоря, изолированной особой точкой Ц. ф. Для того чтобы бесконечно удалённая точка была устранимой особой точкой (соответственно полюсом), для Ц. ф. f (z) необходимо и достаточно, чтобы f (z) была постоянна (соответственно была алгебраическим многочленом). Если точка z = ¥ является существенно особой точкой для Ц. ф. f (z), то f (z) называют трансцендентной Ц. ф. Таковы, например, функции sinz, cosz, e^z.

  Для того чтобы f (z) была Ц. ф., необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере для одной точки z₀ имело место соотношение

  В этом случае разложение f (z) в ряд Тейлора

будет сходиться по всей плоскости комплексного переменного.

  Основой для классификации трансцендентных Ц. ф. служит скорость роста М (r) функции, определяемой равенством

  Величину

называют порядком Ц. ф. f (z). В трудах А. Пуанкаре, Ж. Адамара и Э. Бореля была установлена связь между порядком Ц. ф. и распределением её нулей.

 

  Лит.: Маркушевич А. И., Целые функции, М., 1965.