Субгармонические функции

Субгармонические функции, функции, удовлетворяющие в некоторой области неравенству

.

В случае, когда Df = 0, функция f является гармонической функцией. Понятие С. ф. можно рассматривать как обобщение понятия гармонической функции. При n = 1 условие Df ³ 0 принимает вид , то есть С. ф. одного переменного есть выпуклая функция. Поэтому понятие С. ф. можно рассматривать также как распространение понятия выпуклой функции на случай любого числа переменных. Так, например, подобно тому как всякая дуга графика выпуклой функции лежит ниже хорды, соединяющей её концы, всякая ограниченная некоторым контуром часть поверхности z = f (x, y), где f (x, у) — С. ф. двух переменных, лежит ниже проходящей через тот же контур поверхности z = F (x, у), где F (x, у) — гармоническая функция (отсюда название «субгармоническая», то есть «подгармоническая»).

  Приведённое выше определение предполагает, что функция f имеет частные производные второго порядка. От этого ограничения освобождаются, непосредственно выражая отмеченное только что свойство графика С. ф. располагаться ниже графика гармонической функции.

  Супергармонические функции (от лат. super — над) — функции, удовлетворяющие неравенству Df £ 0. Если f — супергармоническая функция, то f есть С. ф., и наоборот. Классические примеры С. ф. и супергармонических функций: для n = 2 логарифмический потенциал

и для n = 3 объёмный потенциал

(здесь r — плотность масс или зарядов). Функции эти внутри областей G и Т удовлетворяют соответственно уравнениям Пуассона DV = — 2pr и DU = — 4pr и, следовательно, являются супергармоническими при r ³ 0 и С. ф. при r < 0.

  С. ф. применяются, например, при решении задач математической физики (в частности, в теории потенциала), теории случайных процессов.

 

  Лит.: Привалов И. И., Субгармонические функции, М.—Л., 1937.