Статистический анализ случайных процессов

Статистический анализ случайных процессов, раздел математической статистики, посвященный методам обработки и использования статистических данных, касающихся случайных процессов (т. е. функций X (t) времени t, определяемых с помощью некоторого испытания и при разных испытаниях могущих в зависимости от случая принимать различные значения). Значение x (t) случайного процесса X (t), получаемое в ходе одного испытания, называется реализацией (иначе — наблюдённым значением, выборочным значением или траекторией) процесса X (t); статистические данные о X (t), используемые при статистическом анализе этого процесса, обычно представляютсобой сведения о значениях одной или нескольких реализаций x (t) в течение определенного промежутка времени или же о значениях каких-либо величин, связанных с процессом X (t) (например, о наблюденных значениях процесса Y (t), являющегося суммой X (t) и некоторого «шума» N (t), созданного внешними помехами и ошибками измерения значений x (t)). Весьма важный с точки зрения приложений класс задач С. а. с. п. представляют собой задачи обнаружения сигнала на фоне шума, играющие большую роль при радиолокации. С математической точки зрения эти задачи сводятся к статистической проверке гипотез: здесь по наблюденным значениям некоторой функции требуется заключить, справедлива ли гипотеза о том, что функция эта является реализацией суммы шума N (t) и интересующего наблюдателя сигнала X (t), или же справедлива гипотеза о том, что она является реализацией одного лишь шума N (t). В случаях, когда форма сигнала X (t) не является полностью известной, задачи обнаружения часто включают в себя и задачи статистической оценки неизвестных параметров сигнала; так, например, в задачах радиолокации очень важна задача об оценке времени появления сигнала, определяющего расстояние до объекта, породившего этот сигнал. Задачи статистической оценки параметров возникают и тогда, когда по данным наблюдений за значениями процесса X (t) в течение определённого промежутка времени требуется оценить значения каких-то параметров распределения вероятностей случайных величин X (t) или же, например, оценить значение в фиксированный момент времени t = t₁ самого процесса Х (t) (в предположении, что t₁ лежит за пределами интервала наблюдений за этим процессом) или значение y (t₁) какого-либо вспомогательного процесса Y (t), статистически связанного с Х (t) (см. Случайных процессов прогнозирование). Наконец, ряд задач С. а. с. п. Относится к числу задач на непараметрические методы статистики; так обстоит дело, в частности, когда по наблюдениям за течением процесса X (t) требуется оценить некоторые функции, характеризующие распределения вероятностей значений этого процесса (например, плотность вероятности величины Х (t), или корреляционную функцию Ex (t) X (s) процесса Х (t), или, в случае стационарного случайного процесса X (t), его спектральную плотность f (l)

  При решение задач С. а. с. п. всегда требуется принять те или иные специальные предположения о статистической структуре процесса X (t), т. е. как-то ограничить класс рассматриваемых случайных процессов. Очень ценным с точки зрения С. а. с. п. является допущение о том, что рассматриваемый процесс X (t) является стационарным случайным процессом; при этом допущении, зная значения единственной реализации x (t) в течение промежутка времени 0 £t £ T, можно уже получить целый ряд статистических выводов о вероятностных характеристиках процесса X (t). В частности, среднеарифметическое значение

 

  в случае стационарного случайного процесса X (t) при весьма широких условиях является состоятельной оценкой математического ожидания Ex (t) = m (т. е.  сходится при Т ®¥ к истинному значению оцениваемой величины m); аналогично этому выборочная корреляционная функция

  ,

  где t > 0, при широких условиях является состоятельной оценкой корреляционной функции B (t)=Ex (t) X (t + t).

  Однако Фурье преобразование функции  — так называемая периодограмма I_T (l) процесса X (t) — уже не представляет собой состоятельной оценки спектральной плотности f (l), являющейся преобразованием Фурье функции В (t); при больших значениях Т периодограмма I_T (l) ведёт себя крайне нерегулярно и при Т ® ¥ она не стремится ни к какому пределу. Поэтому С. а. с. п. включает в себя ряд специальных приёмов построения состоятельных оценок спектральной плотности f (l) по наблюдённым значениям одной реализации стационарного процесса X (t), большинство из которых основано на использовании сглаживания периодограммы процесса по сравнительно узкой области частот l.

  При исследовании статистических свойств оценок вероятностных характеристик стационарных случайных процессов очень полезными оказываются дополнительные допущения о природе X (t) (например, допущение о том, что все конечномерные распределения значений процесса X (t) являются нормальными распределениями вероятностей). Большое развитие получили также исследования по С. а. с. п., в которых предполагается, что изучаемый процесс X (t) является марковским процессом того или иного типа, или компонентой многомерного марковского процесса, или компонентой многомерного процесса, удовлетворяющего определённой системе стохастических дифференциальных уравнений.

 

  Лит.: Дженкинс Г., Ватте Д., Спектральный анализ и его приложения, пер. с англ., в. 1—2, М., 1971—72; Хеннан Э., Анализ временных рядов, пер. с англ., М., 1964; его же, Многомерные временные ряды, пер. с англ., М., 1974: Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н., Статистика случайных процессов (нелинейная фильтрация и смежные вопросы), М., 1974.

  А. М. Яглом.