Свёртка функций

Свёртка функций f₁(x) и f₂(x), функция

  С. ф. f₁(x) и f₂(x) обозначают f_1*f₂. Если f₁ и f₂ являются плотностями вероятности независимых случайных величин Х и Y, то f_1*f₂ есть плотность вероятности случайной величины Х+Y. Если F_k (x) — Фурье преобразование функции f_k (х), то есть

  то F₁(x) F₂(x) является преобразованием Фурье функции f_1*f₂. Это свойство С. ф. находит важные приложения в теории вероятностей (см. Характеристическая функция). Аналогичным свойством обладает С. ф. и относительно Лапласа преобразования, что находит широкие приложения в операционном исчислении. Операция свёртывания функций перестановочна и сочетательна, то если f_1*f₂=f_2*f₁ и f_1*(f_2*f₃)=(f_1*f₂)_*f₃. Поэтому её можно рассматривать как вид умножения функций, что даёт возможность применить к изучению С. ф. теорию нормированных колец.