Равномерная сходимость

Равномерная сходимость, важный частный случай сходимости. Последовательность функций f_n (x) (n = 1, 2, ...) называется равномерно сходящейся на данном множестве к предельной функции f (x), если для каждого e > 0 существует такое N = N (e), что ïf (x) — f_n (x)ï < e при n > N для всех точек х из данного множества. Например, последовательность функций f_n (x) = xⁿ равномерно сходится на отрезке [0, ¹/₂] к предельной функции f (x) = 0, так как ïf (x) — f_n (x)ï £ (¹/₂) ⁿ < e для всех 0 £ x £ ¹/₂, если только n > ln (¹/_e)/ln2, но она не будет равномерно сходящейся на отрезке [0, 1], где предельной функцией является f (x) = 0 при 0 £ x < 1 и f (1) = 1, т.к. для любого сколько угодно большого заданного n существуют точки h, удовлетворяющие неравенствам , для которых ïf (h) — f_n (h)ï = hⁿ > ¹/_2. Понятие Р. с. допускает простую геометрическую интерпретацию: если последовательность функций f_n (x) равномерно сходится на некотором отрезке к функции f (x), то это означает, что для любого e > 0 все кривые у = f_n (x) с достаточно большим номером будут расположены внутри полосы ширины 2e, ограниченной кривыми у = f (x) ± e для любого х из этого отрезка (см. рис.).

  Равномерно сходящиеся последовательности функций обладают важными свойствами; например, предельная функция равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций также непрерывна (приведённый выше пример показывает, что предельная функция последовательности непрерывных функций, которая не является равномерно сходящейся, может быть разрывной). Важную роль в математическом анализе играет теорема Вейерштрасса: каждая непрерывная на отрезке функция может быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности многочленов (или тригонометрических полиномов). См. также Приближение и интерполирование функций.

Рис. к ст. Равномерная сходимость.