Равномерная непрерывность

Равномерная непрерывность, важное понятие математического анализа. Функция f (x) называется равномерно-непрерывной на данном множестве, если для всякого e > 0 можно найти такое d = d(e) > 0, что êf (x₁) — f (x₂)ê<e для любой пары чисел x₁ и x₂ из данного множества, удовлетворяющей условию ïx₁—x₂ï< d (ср. Непрерывная функция). Например, функция f (x) = x² равномерно непрерывна на отрезке [0, 1]: если , то  (так как для 0 £ x₁ £ 1, 0 £ x₂ £ 1 обязательно ïx₁ + x₂ï£ 2). Вообще функция, непрерывная в каждой точке отрезка [а, b], равномерно непрерывна на этом отрезке (теорема Кантора). Для интервала эта теорема может не иметь места.

  Так, например, функция  непрерывна в каждой точке интервала 0 < x < 1, но не является равномерно непрерывной в этом интервале, потому что, например, при e = 1 для любого d > 0 (d <  1) мы имеем удовлетворяющие неравенству ïx₁ — x₂ï < d числа x₁ =  и x₂ = d , для которых .