Обратные гиперболические функции

Обратные гиперболические функции, функции, обратные по отношению к гиперболическим функциям sh х, ch х, th х; они выражаются формулами

 (*)

  (читается: ареа-синус гиперболический, ареа-косинус гиперболический, ареа-тангенс гиперболический). Эти обозначения происходят от лат. area — площадь (гиперболические функции могут рассматриваться как функции площади гиперболического сектора). Производные О. г. ф. имеют вид

,

,

.

  Поэтому О. г. ф. часто появляются при интегрировании рациональных дробей и квадратичных иррациональностей.

  О. г. ф., рассматриваемые в комплексной области, многозначны. Их однозначные ветви (главные значения) получаются, если в формулах (*) брать для логарифма его главные значения; они обозначаются ar sh z; ar ch z, ar th z. Главные значения О. г. ф. связаны с главными значениями обратных тригонометрических функций формулами

,

,

.