Наблюдений обработка

Наблюдений обработка математическая, применение к результатам наблюдений математических методов для построения выводов об истинных значениях искомых величин. Всякий результат наблюдений, связанных с измерениями, содержит ошибки (погрешности) различного происхождения. По своему характеру ошибки делятся на три группы: грубые, систематические и случайные (о грубых ошибках см. ст. Ошибок теория; в дальнейшем будет предполагаться, что наблюдения не содержат грубых ошибок). Обычно результат измерения Y некоторой величины m считают случайной величиной; тогда ошибка измерения d = Y - m будет также случайной величиной. Пусть b = Еd - математическое ожидание ошибки. Тогда Y = m + b + (d - b). Величину b называют систематической ошибкой, а d - b — случайной ошибкой; математическое ожидание d - b равно нулю. Систематическая ошибка b часто бывает известна заранее и в этом случае легко устраняется. Например, в астрономии при измерении величины угла между направлением на светило и плоскостью горизонта систематическая ошибка является суммой двух ошибок: систематические ошибки, которую даёт прибор при отсчёте данного угла (см. Инструментальные ошибки), и систематические ошибки, обусловленной преломлением лучей света в атмосфере (см. Рефракция). Инструментальная ошибка определяется с помощью таблицы или графика поправок для данного прибора; ошибку, связанную с рефракцией (для зенитных расстояний, меньших 80°), достаточно точно можно вычислить теоретически.

  Влияние случайных ошибок оценивается с помощью методов теории ошибок. Если Y₁, Y₂,..., Y_n — результаты n независимых измерений величины m, произведённых в одинаковых условиях и одинаковыми средствами, то обычно полагают

где b — систематическая ошибка. Об оценке абсолютной погрешности приближённого равенства (1) см. в статьях Наименьших квадратов метод, Значимости уровень.

  В том случае, когда требуется вычислить значение некоторой функции f (y) в точке y = m, причём величина m оценивается по n независимым наблюдениям Y₁, Y₂,..., Y_n, приближённо полагают

  Пусть В — математическое ожидание величины

т. е.

  Поэтому В — систематическая ошибка и (D - В) — случайная ошибка приближённого равенства (2). Если случайные ошибки независимых наблюдений Y₁, Y₂,..., Y_n подчиняются одному и тому же распределению и функция f (y) в окрестности точки у = m. мало отличается от линейной, то В » 0 и

где

— арифметическое среднее случайных ошибок исходных наблюдений. Это означает, что если Е (d_i - b)² = s², i = 1, 2,..., n, то Е (D — В)² » ЕD² » [f’ (m)]²s²/n ® 0 при n ® ¥.

  В случае нескольких неизвестных параметров Н. о. часто осуществляется с помощью метода наименьших квадратов.

  Если изучается зависимость между случайными величинами Х и Y на основе совокупности n независимых наблюдений, каждое из которых есть вектор (X_i, Y_i), i = 1,..., n, компоненты которого X_i и Y_i подчиняются исследуемому совместному распределению величин Х и Y, то соответствующая Н. о. выполняется с помощью теории корреляции и математической статистики.

  При Н. о. приходится делать некоторые предположения и допущения о характере функциональной зависимости, о распределении случайных ошибок и т.д., поэтому Н. о. должна включать в себя проверку согласия сделанных допущений с результатами использованных и др. наблюдений. См. Статистическая проверка гипотез.

 

  Лит.: Уиттекер Э. Т. и Робинсон Г., Математическая обработка результатов наблюдений, пер. с англ., Л. — М., 1935; Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений, 2 изд., М., 1962.

  Л. Н. Большев.