Характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение в математике,

  1) Х. у. матрицы — алгебраическое уравнение вида

;

определитель, стоящий в левой части Х. у., получается из определителя матрицы А = ||a_ik||ⁿ₁ вычитанием величины l из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х — характеристический многочлен. В раскрытом виде Х. у. записывается так:

,

где S₁ = a₁₁ + a₂₂ +... a_nn — т. н. след матрицы, S₂ — сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида  (i < k) и т.д., а S_n — определитель матрицы А. Корни Х. у. l₁, l₂,..., l_n называются собственными значениями матрицы А. У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все l_k действительны, у действительной кососимметричной матрицы все l_k чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |l_k| = 1.

  Х. у. встречаются в самых разнообразных областях математики, механики, физики, техники. В астрономии при определении вековых возмущений планет также приходят к Х. у.; отсюда и второе название для Х. у. — вековое уравнение.

  2) Х. у. линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

a₀ly ⁽ⁿ⁾ + a₁y ^(n-1) +... + a_n-1y' + a_ny = 0

— алгебраическое уравнение, которое получается из данного дифференциального уравнения после замены функции у и её производных соответствующими степенями величины l, т. е. уравнение

a₀lⁿ + a₁l^n-1 +... + a_n-1 y' + a_ny = 0.

К этому уравнению приходят при отыскании частного решения вида у = се^lх для данного дифференциального уравнения. Для системы линейных дифференциальных уравнений

 _, ,

  Х. у. записывается при помощи определителя

  Х. у. матрицы A = , составленной из коэффициентов уравнений данной системы.