Эйлера формулы

Эйлера формулы в математике, важнейшие формулы, установленные Л. Эйлером.

  1) Э. ф., связывающие тригонометрические функции с показательной (1743):

e^ix = cos х + i sin х,

, .

  2) Э. ф., дающая разложение функции sin х в бесконечное произведение (1740):

.

  3) Тождество Эйлера о простых числах:

,

  где s = 1, 2,..., и произведение берётся по всем простым числам р.

  4) Тождество Эйлера о четырёх квадратах:

(a² +b² + c² + d²)(p² + q² + r² + s² = x²+y²+z²+t², где

,

,

,

.

  5) формула Эйлера о кривизнах (1760):

.

  Она даёт выражение кривизны 1/R любого нормального сечения поверхности через её главные кривизны 1/R₁ и 1/R₂ и угол j между одним из главных направлений и данным направлением.

  Эйлеру принадлежит также Эйлера—Маклорена формула суммирования, Эйлера—Фурье формулы для коэффициентов разложений функций в тригонометрические ряды.

 

  Лит. см. при ст. Эйлер.