Бесконечное произведение

Бесконечное произведение, произведение бесконечного числа сомножителей u₁, u₂,..., u_n,..., т. е. выражение вида

  Б. п., в котором сомножителями являются числа, иногда называемые бесконечным числовым произведением. Б. п. не всегда может быть приписано числовое значение. Если существует отличный от нуля предел последовательности частичных произведений

  pn = u₁ u₂... u_n

при n ® ¥, то Б. п. называется сходящимся, a lim pn = р — его значением, и пишут:

 

Исторически Б. п. впервые встретились в связи с задачей о вычислении числа p. Так, французский математик Ф. Виет (16 в.) получил формулу:

 

  а английский математик Дж. Валлис (17 в.) — формулу:

  Особое значение Б. п. приобрели после работ Л. Эйлера, применившего Б. п. для изображения функций. Примером может служить разложение синуса:

Разложения функций в Б. п. аналогичны разложениям многочленов на линейные множители; они замечательны тем, что выявляют все значения независимого переменного, при которых функция обращается в нуль.

  Для сходимости Б. п. необходимо и достаточно, чтобы u_n ¹ 0 для всех номеров n, чтобы u_N > 0, начиная с некоторого номера N, и чтобы сходился ряд

Т. о., исследование сходимости Б. п. эквивалентно исследованию сходимости этого ряда.

 

  Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, М.— Л., 1966; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, М., 1965.