Шаровые функции — представим себе точку M на поверхности шара, центр которого есть точка C. Предположим, что дана точка O вне шара (I) или внутри его (II).
Введем обозначения: МС=R, СО=ρ, МО= r , угол МСО=ω.
Из треугольника M СО следует, что
Это выражение можно представить:
(в случае I) или
(в случае II).
Полагая cosω = x, R /ρ или ρ/R равным α, получим, что r выражается в обоих случаях через
, где α < 1.
Во многих вопросах математической физики приходится 1/ r разлагать в ряд. Этот вопрос приводится к разложению функции по степеням α. Выполнив это разложение, получим:
где P0 = 1, P1 = x, P2 = 3/2x2-1/2, P3 = 5/2x3-3/2x,... Pn =
Полученные здесь целые функции от x называются Лежандровыми функциями или, по Гауссу, шаровыми функциями.
При помощи строки Лагранжа доказывается, что Р n(x) есть n -ая производная целой функции:
(x2-1)n/1∙2∙3∙...n∙2n.
Уравнение Р n(x) = 0 имеет все корни вещественные, лежащие между - 1 и +1.
Функция Р n(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению:
(1-x2)y"-2xy' + n(n + 1)y = 0.
Между тремя последовательными функциями Pn, Pn-1 и Pn-2 имеет место соотношение:
nPn —
(2n-1)xPn-1 + (n-1)Pn-2 = 0.Из сочинений, посвященных рассматриваемому вопросу, отметим следующие: Р. G. Lejeune-Dirichlet, "Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung wirkende Kräfte" (изд. доктора F. Grube'a, Лейпциг, 1876); Dr. E. Heine, "Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendungen" (2 т., Б., 1878, 1881).
Д. С.
Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб. Брокгауз-Ефрон.
Шарп, Р. БоудлерШарп, Р. Боудлер (R. Bowdler Sharpe) — выдающийся английский орнитолог; родился в 1847 году в Лондоне; с раннего детства увлекался орнитологией, шестнадцати лет поступил на службу по книжном...
Шарпантье, Луи-ЭженШарпантье, Луи-Эжен (Charpentier, 1811-1890) — выдающийся французский живописец, ученик барона Ф.-П. Жерара и Л. Куанье, в начале писал историко-бытовые и жанровые картины, но с 1850-х годов...
Шарпантье, ТуссантШарпантье, Туссант (Toussaint von Charpentier) — немецкий горный инженер и энтомолог (1778-1847), учился в горной академии в Фрейберге, затем в Лейпциге, занимал разные должности в горном ве...