Изопериметрическая задача

Изопериметрическая задача — состоит в том, чтобы из всех кривых определенной длины найти ту, которая ограничивает наибольшую или наименьшую площадь, или которая, вращением около некоторой оси, образовала бы тело вращения с наибольшими или наименьшими поверхностью или объемом. Эта задача предложена Яковом Бернулли, который затем напечатал ее решение в 1701 г. в мемуаре, озаглавленном "Analysis magni problematis isoperimetrici". И. задача представляет частный случай более общей: найти наибольшее или наименьшее значение однократных или многократных интегралов, взятых между постоянными или переменными пределами. Решением подобных задач занимался еще Ньютон, определивший, какую форму должно иметь тело вращения при данных основании и высоте, чтобы сопротивление движению его в некоторой среде, по направлению оси, было наименьшим, приемы, употребленные Ньютоном, остались неизвестными. Началом изысканий математиков для нахождения наибольших и наименьших интегралов можно считать появление задачи о брахистохроне, предложенной Иваном Бернулли в 1696 г. Такими задачами занимались затем Тейлор, Эйлер, Лагранж, Пуассон, Гаусс, Остроградский, Коши, Якоби, Саррюс и др. Первоначальные решения были недостаточно общие или относились лишь к однократному интегрированию, почему в 1842 г. Парижская академия наук предложила на премию в 3000 фр. задачу: найти все уравнения, необходимые для полного определения максимума или минимума кратного интеграла. Из четырех сочинений, представленных в Академию, удостоилось премии сочинение страсбургского математика Саррюса, напечатанное в "M émoires des Savants é trangers" (т. X, 1848). И. задача может считаться окончательно решенной после остроумных исследований немецкого математика Якоби, который дал критериум для отличия максимума от минимума (Jacobi, "Gesammelte Werke"), См. еще Брахистохрона и Вариационное исчисление.