Изменение переменной независимой

Изменение переменной независимой — Под этим названием известна одна из основных задач дифференциального и интегрального исчислений. И. переменой независимой делается обыкновенно с целью привести дифференциальное уравнение, не поддающееся непосредственному интегрированию, к другому, которое представлялось бы одним из классов, удобных для интегрирования. Чтобы разъяснить, в чем состоит И. переменной независимой заметим, что величины первых дифференциалов не зависят от того, которую из переменных считают за независимую. Первый дифференциал функции f(x) всегда выражается формулой

df(x) = f'(x).dx

причем, если желательно ввести новую независимую переменную t так, что прежняя независимая переменная х будет некоторой новой функцией от t, φ (t), то вместо х придется подставить φ (t), а вместо dx величину

d φ (t) = φ '(t).dt.

Не останавливаясь на этом случае, рассмотрим И. переменной независимой для дифференциалов высших порядков. Пусть дана функция П(x, у, y', y"... y ⁽ⁿ⁾). Требуется ввести вместо независимой переменной x, ее функции у и всех производных, входящих в выражение П, новую независимую переменную ξ, ее новую функцию η и производные от этой функции η по ξ, которые означим через η ', η "... η ⁽ⁿ⁾, так что будет

П(х,у,у'....y⁽ⁿ⁾) = Ф(ξ, η, η '... η ⁽ⁿ⁾).

Здесь всегда предполагается, что задана такая связь между старыми переменными x и у, с одной стороны, и новыми ξ и η, с другой, что возможно выразить функцию П в виде некоторой функции Ф от новых переменных. И так задача И. переменной независимой состоит в том, чтобы данное дифференциальное уравнение

П(х,у,у'....y ⁽ⁿ⁾) = 0

привести соответствующим выбором новых переменных к виду

Ф( ξ, η, η '... η ⁽ⁿ⁾) = 0

которое было бы удобнее трактовать. — Такое же значение имеет И. переменной независимой в случае, когда независимых переменных много, например в случае дифференциальных уравнений с частными производными. Для примера рассмотрим уравнение колебания струны:

d²u/dy² — a²(d²u/dx²) = 0.

Изменим независимые переменные так, чтобы искомая функция и осталась прежняя и введем только новые независимые переменные ξ и η при помощи уравнений

ξ = х + ау

η = х — ау

Отсюда будет

d²u/dy² — a²(d²u/dx²) ⁼ d²u/(d η d η)

и, следовательно, заданное дифференциальное уравнение обратится в более простое

d²u/(d ξ d η) = 0

которое интегрируется непосредственно. Общее его решение будет

и = П( ξ) + Ф(η)

(см. Интегрирование уравнений). — Об изменении переменной независимой под знаком неопределенного интеграла см. Интегральное исчисление.

Д. Граве.