Двойные ряды

Двойные ряды (мат.). — Бесконечные ряды, каждый член которых представляет из себя сумму некоторого сходящегося бесконечного ряда, суть так называемые Д. ряды или ряды с двумя входами (sériés à double entrée), a потому Д. ряды суть ряды вида , где m и n суть два целых числа, служащих для указания соответственного члена U _m,n Д. ряда. Суммирование производится как по значку m, так и по значку n для целых значений чисел m и n, лежащих в некоторых границах. Обыкновенно (так, например, в теории эллиптических функций) рассматриваются ряды, состоящие из бесчисленного множества членов, причем суммирование распространяется на всевозможные положительные и отрицательные целые значения чисел m и n. Возьмем в плоскости систему прямоугольных координат ху; затем для каждого члена U_m,n ряда укажем точку, имеющую координаты x = m, у = n. Все подобные точки, соответствующие ряду, лежат в углах сетки, образованной прямыми линиями, проведенными на расстоянии единицы друг от друга параллельно осям х-ов и у-ов. Если ряд расположен по положительным и отрицательными значениям чисел m и n, то точки, соответствующие его членам, могут заполнять всю плоскость. Подобные ряды будут сходящимися, когда сумма членов, соответствующие точки которых расположены внутри некоторой замкнутой кривой какого угодно вида, стремится к определенному пределу, когда контур фигур раздвигается в бесконечность по всем направлениям. Д. ряды играют видную роль в теории эллиптических функций.