Главная  Энциклопедии  Словари  Добавить в Избранное



Бином Ньютона

Бином Ньютона — алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражающая какую угодно степень двучлена, а именно:

(х + а) n = х n + n/1(axn—1) + [n/(n—1)/1.2](а 2 х n—2) + …[n(n—1)(n—2)…(n—m+1)/1.2.3…m](anxn—m) + …

или, в компактной форме, пользуясь символом n! = 1.2.3…n:

(х + а) n = ∑m[n!/{m!(n — m)}](!xn—mam

Формула эта была впервые дана Ньютоном в 1676 г. без доказательства. Она высечена на гробнице Ньютона, в Вестминстерском аббатстве, в Лондоне, хотя далеко не может считаться одним из важнейших открытий Ньютона.

Доказательство формулы Б. для целого показателя получается легко, как частный случай из более общей формулы, выражающей произведение произвольного числа двучленов. Легко убедиться непосредственным умножением, что для случая n = 2 или n = 3 имеет место формула:

(x + a1)(х + а 2)…(х + а n) = х n + Sn1xn—l + Sn2xn—2 + … + Snn

где S n1 есть сумма данных количеств a 1, a2 ... а n, Sn2 сумма произведений их по два, — S nn произведение всех этих количеств. А затем можно доказать, что если она верна для n, то верна и для n +1 множителей. Ибо, прибавив один множитель х + а n+1, получим прямым умножением

(x + a1)(x + a2)…(x + an—1) = х n—1 + (Sn1 + an+1)xn + (Sn2 + Sn1an—1)xn—1 + … + Snnan

и в то же время очевидно, что

Sn1 + an+1 + 1 = S1n+1

Sn2 + Sn1an+1 = S2n+1

и т. д., так что правая часть последнего равенства есть

xn+1 + S1n+1xn + S2n+1 х n—1 + … + (Sn+1)n+1

и т. д. Пусть теперь все а равны между собой и равны, например, а, тогда:

S1 = na

S2 = [n(n — 1)/1.2]а 2

и получим (х + а) n = xn + naxn—1 + [n(n — 1)/1.2](a2xn—2) + …

Таким образом верность формулы Ньютона для n целого, положительного доказана. Но уже и сам Ньютон показал, что она верна и для дробного, и для отрицательного. Приведем доказательство Эйлера для n какого угодно. Рассмотрим выражение:

1 + nx + [n(n — 1)/1.2(x2)] + [n(n — 1)(n — 2)/1.2.3]x3 + …

Для n целого оно равно (1 + x) n. Пусть для всякого n оно есть вообще f(n). Точно так же пусть подобное же выражение с заменой n на m есть f(m). Перемножая, находим, с одной стороны, f(n)f(m), с другой стороны — выражение, закон составления коэффициентов которого нам известен из случая n, m целых, именно:

f(n)f(m) = 1 + [(n + m)/1]x + [(n + m)(n + m — 1)/1.2]x2 + [(n + m)(n + m — 1)(n + m — 2)/1.2.3]x3 + …

а это есть очевидно f(n+m). Итак, мы получили f(n)f(m) = f(n + m); точно так же для произвольного числа множителей f(n 1)f(n2) ... f(n μ) = f(n1+n2+…+n μ); полагая n 1 = n2 =…= n μ = λ / μ, имеем

Таким образом формула Б. Ньютона распространяется на показатели, представляющие соизмеримую дробь. А отсюда легко перейти и к несоизмеримому показателю. Точно так же формула f(m)f(n) = f(m+n) дает сразу обобщение и на случай отрицательного показателя. Ибо при m+n = 0 имеем

f(n)f(–n) = f(0) = 1, т. е. f(–n) = 1/f(n) или

f(–n) = (1 + x)–l = nx + [n(n — 1)/1.2]x2 — [n(n — l)(n — 2)/1.2.3]x3 + … и т. д.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб. Брокгауз-Ефрон.

Читайте также :

Бинтанг
Бинтанг — главный остров архипелага того же имени в Нидерландской Ост-Индии, занимает 1178 кв. км, лежит между 0° 52' до 1° 18' сев. шир. и 103° 62' до 104° 30' вост. долг. от Гринвича. Этот...

Бинуэ
Бинуэ или Бенуэ, "Мать вод", по недоразумению названный также Чада — самый большой приток Нигера в Западной Африке. Источники его были до последнего времени неизвестны, и только в ...

Биньон
Биньон Луи-Пьер-Эдуард (Bignon) — французский дипломат, публицист и историк, родился в 1771 году в Гирбавиле, в департаменте Нижней Сены, учился в Париже в коллеже Лизье; во время революции ...





Энциклопедии и словари на ALCALA.RU 2005-2011 год. - Значение слова в Бесплатных онлайн словарях - справочниках
Все тексты выложены на сайте для не коммерческого использования и взяты из открытых источников.
При использовании материалов сайта активная ссылка на ALCALA.RU обязательна!!
Все права на тексты принадлежат только их правообладателям!!