Безутиан

Безутиан — название, данное английским математиком Сильвестром квадратной функции, которая получается след. образом. Если даны две бинарные формы, напр. ax ⁴+bx³y+cx²y² +... и a ⁴x⁴+b'y³+c'x²y² +... то элиминант их получится по способу Безу в виде определителя

Определитель этот симметрический. С другой стороны, известно, что всякая квадратная форма имеет дискриминантом симметрический определитель, и наоборот, всякий симметрический определитель может быть рассматриваем как дискриминант некоторой квадратной формы. Та квадратная форма, дискриминант которой есть элиминант данных двух форм, составленный по способу Безу, и есть Безутиан системы данных двух форм. Если вместо двух различных форм мы возьмем две частные производные одной и той же бинарной формы, то из Безутиана легко получить число мнимых корней данной формы. А именно, если представить Безутиан в виде суммы квадратов (что всегда возможно), то число квадратов с отрицательным знаком будет равно числу мнимых корней данной формы. Или можно поступить следующим образом. Прибавив некоторую величину s к каждому члену главной диагонали матрицы Б., получим уравнение в s, в котором все корни будут вещественные и неравны, и определим число отрицательных корней этого уравнения: оно будет равно числу мнимых корней данной формы (см. Sylvester, "Philosophical Transactions", 185 3).