Арифметически-геометрическая средняя

Арифметически-геометрическая средняя - А.-геометрическая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и g < a. Составим их арифметическую среднюю a ₁ и геометрическую среднюю g ₁, т. е. найдем a ₁ = 1/2(a+g) и g ₁ = √(ag). Таким же образом составим a ₂ = 1/2(a₁+g₁) и g ₂ = √(a₁g₁) и т. д. Числа a, a ₁, a₂: и g, g ₁, g₂: будут представлять убывающий ряд, вторые возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-геометрическая средняя. Означим ее AG. Напр. а = 2 g = 1. Последовательно находим

a₁ = 1.5000000 g₁ = 1.4132136

а ₂ = 1.3737734 g₂ = 1.3731462

а ₃ = 1.3734598 g₃ = 1.3734596

а ₄ = 1.3734597 g₄ = 1.3734597

Итак, AG(2 ₁1) = 1.3734597

А.-геометрическая средняя играет роль в вычислении эллиптических интегралов. А именно, Гадес показал, что

2K/ π = 1: AG(1 + k, 1 - k).

Он же вычислил таблицу AG между единицей и синусами углов от 0 до 90° через полуградус (Гаусс, "Werke", Bd. III).